求证平行四边形4条边的平方和等于对角线的平方和

用向量来证最简单，只需3步，而且不用作任何辅助线。
（以下的量均表示向量，那个箭头打不出来）
证明：平行四边形ABCD中
AC＝DC－DA
BD＝DA＋DC
所以 AC^2＋BD^2＝（DC－DA）^2＋（DA＋DC）^2
＝DC^2＋DA^2－2DC*DA＋DC^2＋DA^2＋2DC*DA
＝AB^2＋BC^2＋CD^2＋DA^2
得证

设平行四边形 边长分别是 a,和 b
对角线是c 和d,
两对角是 A ,B
则有 A+B=180
所以 cosA+cosB=0
应用余弦定理
c^2=a^2+b^2-2ab*cosA (1)
d^2=a^2+b^2-2ab*cosB (2)
(1)+(2)得
c^2+d^2=2(a^2+b^2)
命题得证

如图，作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F 则AE=BF,DE=CF 设BF=a，CF=b ∴AC^2=(AB+a)^2+b^2 BD^2=b^2+(AB-a)^2 两式相加 AC^2+BD ^2 =2AB^2+2a^2+2b^2 =2AB^2+2(a^2+b^2) =2AB^2+2BC^2 =2AB ^2+2BC^2+2CD^2+2DA^2

用向量证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四边形的平方和． 如何求证四边形每条边的中点连起来的图形是平行四边形? 证明平行四边形对角线平方和等于各边平方和 求证：平行四边形一条对角线的两个端点到另一条对角线的距离相等． 已知四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，求证她的对角线互相垂直 平行四边形求证 平行四边形的对角线的平方和为什么会等于它四边的平方和 求证:平行四边形的四个内角平分线围成一个平行四边形 四边行的两组对边的平方和相等，求证对角垂直 求证：正整数m^4+4n^4一定能表示为四个自然数的平方和