保兑行在保兑信用证下承担第一付款责任吗？？

你的理解基本正确。

更准确点的说，保兑行在保兑信用证下和开证行一样，承担第一付款承认。

保兑银行是指根据开证行的请求在信用证上加具保兑的银行。保兑银行在信用证上加具保兑后，即对信用证独立负责，承担必须付款或议付的责任。

保兑银行具有与开证行相同的责任和地位。保兑银行可以由通知银行兼任，也可由其他银行加具保兑。

保兑行是开证行以外的保证信用证兑付的银行，它与开证所承担的责任都是第一性的。