超急!!!高二复数问题

可以容易得到，z的模为1，复平面上，其方向为第一象限角平分线。
那么，可以得知，z的乘方，其模都为1，且有z^n=-z^(n+4)
所以，后面16项，其和为0，消项后得
1+z+z^2+…..+z^20
=1+z+z^2+z^3+z^4
=z+z^2+z^3
=(1+i)/(根号2)+i+(-1+i)/(根号2)
=(1+根号2)i

只要记得，相乘就是旋转，乘方就是连续旋转就好了。深刻理解是解题的捷径。

z=(1+i)/√2 =√2/2+i√2/2=cos45°+isin45°

1+z+z^2+…..+z^20
=(1-z^21)/(1-z)
=[1-cos(21*45°)-isin(21*45°)]/[1-(cos45°+isin45°)]
=[1-cos(5π+π/4)-isin(5π+π/4)]/[(2-√2)/2-i√2/2]
=[1+cos(π/4)+isin(π/4)]/[(2-√2)/2-i√2/2]
=[(2+√2)/2+i√2/2]/[(2-√2)/2-i√2/2]
=[(2+√2)/2+i√2/2][(2-√2)/2-i√2/2]/{[(2-√2)/2]^2+[√2/2]^2}
=(1-i)/(2-√2)
=(1+√2/2)-(1+√2/2)i

XYZZYX12345678

你这种死算吃力不啊？而且这种是最容易带错数值的。
=[(2+√2)/2+i√2/2]/[(2-√2)/2-i√2/2]
=[(2+√2)/2+i√2/2][(2-√2)/2-i√2/2]/{[(2-√2)/2]^2+[√2/2]^2}

这一步，应该是上下同乘[(2-√2)/2+i√2/2]，下面才能用平方差公式化简。

这道题最关键就是z^4=-1
所以
z^n=-z^(n+4)
然后消项。

PS：我是第壹刀，如果满意我的回答，分数不要给这个号啊。

幅角是四十五度。
2(根号2)i－根号2