求心形线r=a(1+cosθ)(a>0)绕极轴旋转所围成的立体的体积~

极轴就是θ=0的射线，或者不准确的讲就是X轴正半轴。

显然，心形线关于极轴对称，取其上半部分图形（0<θ<π）
绕极轴旋转所称立体的体积微元：
dV=π*|y|^2*ds
ds=rdθ
y=rsinθ
所以
V=∫π(rsinθ)^2*rdθ （积分限从0到π，下同）
=π*∫r^3*(sinθ)^2dθ
=πa^3*∫(1+cosθ)^3*(sinθ)^2dθ （令t=θ/2）
=πa^3*∫[2(cost)^2]^3*(2sintcost)^2*2dt(积分限从0到π/2，下同)
=64πa^3*∫(cost)^8*(sint)^2dt
=64πa^3*[∫(cost)^8dt-∫(cost)^10dt] (用华里士公式)
=64πa^3*(π/2)*[(7*3*5*1)/(8*6*4*2)-(9*7*5*3*1)/(10*8*6*4*2)]
=32π^2*a^3*7/256=7π^2*a^3/8