一道关于三角形的初中数学竞赛题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/05 12:14:34
如图，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，过B作BA1⊥AC，过A1作A1B1⊥BC，得阴影Rt△A1B1B；再过B1作B1A2⊥AC，过A2作A2B2⊥BC，得阴影Rt△A2B2B1；……如此下去，请猜测这样得到的所有阴影三角形的面积之和为 。

96/41.

我不知道你是初几，但是参加数学竞赛应该至少知道相似三角形，
很容易证得Rt△ABC≌Rt△ABA1≌Rt△ABB1,于是有：Rt△ABB1面积/Rt△ABA1面积=（1/2*AA1*BA1）/(1/2*A1B1*BB1)=(AA1/A1B1)*(BA1/BB1)=(AB/A1B)*(AB/A1B)=(AB/A1B)的平方=AC/BC的平方=5/4的平方=25/16，
类似证得Rt△A1B1A2/Rt△A2B1B2面积=25/16
等等等等
于是所有白色面积/阴影面积=25/16
即所有阴影三角形的面积之和为16/(25+16)*总面积=16/41*6=96/41

可能看起来麻烦一点，但是思路是比较简单的

AB=3
BA1=12/5
AA1=9/5
A1B1=48/25
BB1=36/25
2S△AA1B=AA1*BA1=108/25
2S△BB1A1=A1B1*BB1=1728/625
S△AA1B/S△BB1A1=108*25/1728=25/16
类推得阴影三角形面积之和占总面积的16/41
所以面积之和为6*16/41=96/41

AB=3，BC=4,则AC=5
因: RT三角形ABC相似于RT三角形AA1B相似于RT三角形A1B1B
所以: AB/BC=AA1/A1B=BB1/A1B1=3/4, AA1=(3/4)A1B, BB1=(3/4)A1B1
A1B/A1B1=AC/BC=5/4
三角形AA1B面积/三角形A1B1B面积=AA1*A1B/(A1B1*BB1)
=(A1B/A1B1)^2=(5/4)^2=25/16
同理:
三角形A1A2B1面积/三角形A2B2B1面积=三角形A2A3B2面积/三角形A3B3B2面积=...=25/16
所以: 所有非阴影三角形的面积之和/所有阴影三角形的面积之和=(三角形AA1B面积+三角形A1A2B1面积+三角形A2A3B2面积+...)/(三角形A1B1B面积+三角形A2B2B1