如图 矩形abcd中，ad=3厘米，ab=a厘米

设存在这样得矩形ABCD.0<t<3
t秒时，BN=BM=t
AM=a-t,CN=3-t
AM/AB=MP/BN
(a-t)/a=MP/t
MP=t(a-t)/a,QP=3-MP=(3+t^2-at)/a
依题意：（t(a-t)/a+t)*t=(3-t+(3+t^2-at)/a)*t=(3+(3+t^2-at)/a)(a-t)
2t^2-4at+3a+3=0 (1)
a^2t+3at+3t=3a^2+3a
t=3a(a+1)/(a^2+3a+3)代人（1）
a^4=3a^2+6a+3=3(a+1)^2
a^2=(a+1)*3^(1/2)
解得a=(3^(1/2)+(3+4*3^(1/2))^(1/2))/2
但a<3
无解

（3）∵PM⊥AB，CB⊥AB，∠AMP=∠ABC，△AMP∽△ABN，
∴PMBN=
AMAB即PMt=
a-ta，∵PM=
t(a-t)a，
∵PQ=3-t(a-t)a，
当梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，
即(QP+AD)DQ2=
(MP+BN)BM2=(3-
t(a-t)a+3)(a-t)2=
(
ta(a-t)+t)t2，
化简得t=
6a6+a，
∵t≤3，
∴6a6+a≤3，则a≤6，
∴3＜a≤6．

（4）∵3＜a≤6时，梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，
∴梯形PQCN的面积与梯形PMBN的面积相等即可，则CN=PM，
∴ta（a-t）=3-t，
两边同时乘以a，得at-t2=3a-at，
整理，得t2-2at+3a=0，
把t=
6a6+a代入，整理得9a3-108a=0，
∵a≠0，∴9a2-108=0，
∴a=±23，
所以a=23．
所以，存在a，
当a=23