欧几里德空间的问题

更正：抱歉搞错了，这个词英语里叫closure，中文是闭包。

1.若不存在这样的d，则根据定义，x属于A的adherence（最小包含A的闭集）。因为A是闭集，所以等于它的adherence，于是x属于A，矛盾。

2.定义函数f:B->R,f(x)=inf||x-y||，y属于A，也就是d(x,A)，x与A的距离。B是紧的，且f有下界，所以在某一点a取最小值。由1)，存在d>0,d(a,A)=d，因此对于任意x属于B,d(x,A)>=d。

3.反例的话取两条渐近线相同的双曲线即可。

4.有很多证法，写一个易于理解的：

若无理数x不属于A,则由1)，存在d，使得[x-d,x+d]这个区间包含于[0,1]且与A的交集为空集。但这个区间内必存在有理数，矛盾。

事实上，由Q的致密性，可知[0,1]中所有有理数集合的adherence就是[0,1]，因此包含于A

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