150x324x375的长方体由1x1x1的小立方体构成。

这类问题最好先从二维情况入手，然后推广至三维以至更高维情况。
考虑一个5x3的长方形。建立直角座标系使X轴和Y轴分别和它的长短边平行，四个顶点的座标为（0，0），（5，0），（5，3），（0，3）。连接（0，0）和（5，3），找出这对角线穿过的所有小正方形，把这些小正方形右上角连成一条折线，在本例中便是（1，1）－（2，1）－（2，2）－（3，2）－（4，2）－（4，3）－（5，3）。可见这条折线由5－1＝4段水平和3－1＝2段铅直小线段组成，即在这条折线上有1＋4＋2＝7个节点。所以原对角线穿过7个小正方形。
再考虑一个6x3的长方形。仿上例，得到的折线是（1，1）－（2，1）－（3，2）－（4，2）－（5，3）－（6，3）。这次因为6和3有公因数3，所以对角线中途经过整点座标3（最大公因数）－1＝2次，因而折线包含斜线片段，每一段斜线代替了一段水平和一段铅直小线段，这条折线上便有1＋（6－1）＋（3－1）－（3－1）＝6个节点。所以原对角线穿过6个小正方形。
以h（m，n）表m和n的最大公因数，则mxn长方形的对角线穿过
1＋（m－1）＋（n－1）－（h（m，n）－1）个小正方形。
现推广至三维情况。
先考虑mxnxp长方体，其中h（m，n，p）＝1。用类似二维情况的分析，把对角线穿过的小正方体右上顶角连成折线，分别考虑在XOY，YOZ和ZOX的投影，便得到对角线从边上穿入另一小正方体的数目，结果是对角线会穿过
1＋（m－1）＋（n－1）＋（p－1）－（h（m，n）－1）－（h（n，p）－1）－（h（p，m）－1）
个小正方体。
当h（m，n，p）＞1时，对角线从角上穿入另一小正方体h（m，n，p）－1次。每次穿越时一段斜线会代替了三段分别和XYZ轴平行的小线段；另一方面，每个m，n，p三者共同的公因数都分别已计算在两两的公因数内了，所以每次从角上穿入要修正1－3＋3＝1。最后结果是对角线会穿过
1＋（m－1）＋（n－1）＋（p－1）－（h（m，n）－1）－（h（n，p）－1）－（h（p，m）－1）＋（h（m，n，p）－1）
个小正方体。
原题目的数字答案应是
1＋149＋323＋374－5－2－74＋2＝768
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