若X,y属于R,X大于0,y大于0,且x+y小于2.求证:(1+x)/y和(1+y)/x中至少有一个大于2

（反证法）假设:(1+x)/y和(1+y)/x都不大于2，即<=2,
则[(1+x)/y]*[(1+y)/x]<=2*2=4,
因为x,y属于R,X大于0,y大于0,且x+y小于2，
所以2√(xy)<=x+y<2,xy<1,,(x+y)/√(xy)>=2
从而
[(1+x)/y]*[(1+y)/x]
=[(1+x)*(1+y)]/(xy)
=(1+x+y+xy)/xy
=1/(xy)+(x+y)/(xy)+1
=1/(xy)+[(x+y)/√(xy)]*[1/√(xy)]+1
>1+2*1+1=4,矛盾，
所以假设不成立，即(1+x)/y和(1+y)/x中至少有一个大于2。

x不等于y,可设x>y,则:
2>x+y>y+y=2y,得:y<1
(1+x)/y=1/y + x/y,其中:
1/y >1,x/y由假设可知,也大于1,故整个上大于2.
同理,设x<y也能得到类似的结果,
所以,可以说这两个式中,总有一个大于2