1道高1的数学题

1 已知三角形ABC中 角A,B,C对边分别为a,b,c证明
1）不论X取何值 总有 b^2x^2+(b^2+c^2-a^2)x+c^2>0
2)证明 （c+1)/(a+b+c+1)<(a+b+1)/[2(a+b)+1]
3)若c大于等于2 证明 1/(a+b+c+1)-[1/(c+1)(a+b+1)]<1/6

(1)
b>0,只要证明方程b^2x^2+(b^2+c^2-a^2)x+c^2=0无实根。
(b^2+c^2-a^2)^2-4b^2c^2
=(b^2+c^2-a^2+2bc)(b^2+c^2-a^2-2bc)
=[(b+c)^2-a^2][(b-c)^2-a^2]
=(a+b+c)(b+c-a)(a+b-c)(b-c-a)
由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
a+b+c>0 b+c-a>0 a+b-c>0 b-c-a<0

(b^2+c^2-a^2)^2-4b^2c^2<0
方程无实根。
不论X取何值 总有 b^2x^2+(b^2+c^2-a^2)x+c^2>0

(2)要证明（c+1)/(a+b+c+1)<(a+b+1)/[2(a+b)+1]
即要证明 (a+b+c+1)/（c+1)>[2(a+b)+1]]/(a+b+1)

(a+b+c+1)/（c+1)-[2(a+b)+1]]/(a+b+1)
=1+(a+b)/(c+1)-2+1/(a+b+1)
=(a+b)/(c+1)+1/(a+b+1)-1
>(a+b)/(a+b+1)+1/(a+b+1)-1
=1-1=0
(a+b+c+1)/（c+1)>[2(a+b)+1]]/(a+b+1)

（c+1)/(a+b+c+1)<(a+b+1)/[2(a+b)+1]
得证。

(3)1/(a+b+c+1)-[1/(c+1)(a+b+1)]<1/6
=[(c+1)(a+b+1)-(a+b+c+1)]/(a+b+c+1)(c+1)(a+b+1)
=[(a+b+1)(c+1-c)]/(a+b+c+1)(c+1)(a+b+1)
=1/(a+b+c+1)(c+1)
只要证明(a+b+c+1)(c+1)>6
(a+b+c+1)(c+1)
>(2c+1)(c+1)