有关於完全平方数的问题

1楼显然不对，若y不等于x呢？
比如x=1,y=9,z=-7,
(x+y+z)^2+2(y-x)=25=5^2
照样成立

原式=x²＋y²＋z²＋2xy＋2x(z－1)＋2y(z＋1)
=(x²＋y²＋z²＋2xy＋2xz＋2yz)+2(y-x)
=(x+y+z)^2+2(y-x)
当：x=y，则：原式=(x+y+z)^2,一定是完全平方数
所以，存在整数解(m,m,n),其中m,n为任意整数

当: x+y+z=0, y-x=2m^2,则:原式=(2m)^2,一定是完全平方数
取x=n
则: y=n+2m^2
z=-y-x=-2n-2m^2
即:存在整数解(n,n+2m^2,-2n-2m^2)

当：x+y+z=1，2(y-x)=(2m+1)^2-1=4m(m+1)
... 我们可以求出另外的整数解
...
如此,还有很多

要求出所有的整数解,本人不知道是否可能,起码是难度很大.

(x+y+z)^2+2(y-x)=k^2, (x+y+z)^2-k^2=2(x-y),先设(x-y)>0,其他的情况你同理可以证明，先求此时的正整数解，把(x+y+z)作为整体来看待，分析知道2(x-y)是4的倍数（不包括4）才有解，这是由于(x+y+z)，k的奇偶相同得到的，(x-y)=2d(d>1），约定s(n)表示n的正约数的个数，有(x+y+z+k）=p（i），(x+y+z-k）=q（i），p（i）>q（i),p（i）*q（i)=2(x-y),它们均是偶数，i从1取到{s[2(x-y)/4]}/2,当2(x-y)是完全平方数时有i取到{s[2(x-y)/4]-1}/2，推广到整数解为(x+y+z+k）=p（i），(x+y+z-k）=q（i），｜p（i）｜>｜q（i)｜,p（i）*q（i)=2(x-y),i从1取到2s[2(x-y)/4]，x+y+z=[p（i）+q（i)]/2,k==[p（i）-q（i)]/2,这样我们可以任意的取定一个整数