1/（2+根号2）+1/（3根号2+2根号3）+1/（4根号3+3根号4）

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/23 05:06:09
计算1/（2+根号2）+1/（3根号2+2根号3）+1/（4根号3+3根号4）+……+1/（100根号99+99根号100）=？

对于任意的正整数n，有
1/[(n+1)√n+n√(n+1)]
=1/{√n√(n+1)[√(n+1)+√n]}
=(√(n+1)-√n)/{√n√(n+1)[√(n+1)+√n][√(n+1)-√n]}
=(√(n+1)-√n)/{√n√(n+1)[(n+1)-n]}
=(√(n+1)-√n)/[√n√(n+1)]
=1/√n-1/√(n+1)

所以
1/（2+根号2）+1/（3根号2+2根号3）+1/（4根号3+3根号4）+……+1/（100根号99+99根号100）
=1-1/√2+1/√2-1/√3+1/√3-1/√4+……+1/√99-1/√100
=1-1/√100
=1-1/10
=9/10

解:∵1/((n+1)*根n+n*根(n+1))=((n+1)*根n-n*根(n+1))/[((n+1)*根n+n*根(n+1))*((n+1)*根n-n*根(n+1))]=1/根n-1/根（n+1）
∴1/（2+根2）+1/（3根2+2根3）+1/（4根3+3根4）+……+1/（100根99+99根100）=1-1/根2+1/根2-1/根3+1/根3-根4+……+1/根99-1/根100
=1-1/10
=9/10