08年杭州中考数学！！第24题解析

由于题目里出现了“平移”，且顶点Q(t,b)已知，因此，考虑先利用顶点式写出平移后抛物线的解析式，再利用韦达定理“做文章”。这个是看到题目后的初步思路，不过应该也是全体的基本思路了。

（1）平移后有：y-b=-t*(x-t)^2
因此，解析式为：y=-t*x^2+2*t^2*x+b-t^3
|OA|^2=t^2,|OB|*|OC|=|(b-t^3)/(-t)|=|(t^3-b)/t|(这是因为B、C两点是抛物线与x轴的两个交点)
若|OA|^2=|OB|*|OC|，则必有：t^2=|(t^3-b)/t|
两边平方：t^4=(t^6-2*b*t^3+b^2)/t^2。因为t、b都非零，故可解得：
t=(b/2)^(1/3)
所以，只要t、b的关系满足t=(b/2)^(1/3)时，就有|OA|^2=|OB|*|OC|。

（2）“AQ平行于BC”也就是告诉了我们t=b，此时抛物线的解析式可改写为：
y=-t*x^2+2*t^2*x+t-t^3，下面来解B的坐标。
令y=0，方程可整理为：x^2-2*t*x+t-1=0(因为t!=0，因此，可将t约去），解得：
x1=t-1, x2=t+1。
因为|OB|<|OC|，故：

1.当t<0时，B为：(t+1,0)
tan∠ABO=3/2=|t/(t+1)|，两边平方，整理得：t^2+6*t+3=0，于是，
t1=-3，t2=-3/5，两个都符合t<0的条件，故都是解

2.当t>0时, B为：(t-1,0)
tan∠ABO=3/2=|t/(t-1)|，两边平方，整理得：t^2-6*t+3=0，于是，
t1=3，t2=3/5，两个都符合t>0的条件，故都是解

最后，只要将这4个t的解代入y=-t*x^2+2*t^2*x+t-t^3的表达式即可。

这种变态题不用管....