05年扬州市中考数学28题

28．（本题满分14分）
如图1，AB是⊙O的直径，射线BM⊥AB，垂足为B，点C为射线BM上的一个动点（C与B不重合），连结AC交⊙O于D，过点D作⊙O的切线交BC于E。
（1）在C点运动过程中，当DE‖AB时（如图2），求∠ACB的度数；
（2）在C点运动过程中，试比较线段CE与BE的大小，并说明理由；
（3）∠ACB在什么范围内变化时，线段DC上存在点G，满足条件 （请写出推理过程）。
解：（1）如图：当DE‖AB时，连结OD，
∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE， ……………1分
∵DE‖AB，∴OD⊥AB，
又∵OD=OA，∴∠A=45° ………………3分
又∵BM⊥AB，∴∠OBE=90°，
∴在Rt△ABC中，∠ACB=45°
即：当∠ACB=45°时，DE‖AB …………4分
(本问证明的方法比较多，对于其它方法，只要是正确的，请参照给分)
（2）连结BD，∵AB是⊙O的直径，
∴∠BDA=∠BDC＝90°，∴∠ACB +∠CBD=90° ，
∠EDB+∠CDE=90° …………5分
又∵BM⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴MB是⊙O的切线， ……………6分
又∵DE是⊙O的切线 ∴BE=ED，
∴∠CBD=∠EDB …………7分
∴∠ACB=∠CDE， ∴EC=ED ，∴BE=EC ………8分
（3）【方法1】 假设在线段CD上存在点G，使BC^2=4DG·DC，由(2)知：BE＝CE，
∴BC=2CE＝2DE， ∴(2DE)^2=4 DG·DC，从而DE^2= DG·DC ， ∴
由于∠CDE是公共角，∴△DEG∽△DCE …………………9分
∴∠ACB=∠DEG，令∠ACB=x，∠DGE=y，∴∠CDE=∠ACB=x
∵C和B不重合，∴BC＞0