闵行区初中二模数学的最后一题~~

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/30 09:55:49
如图，已知正方形ABCD中，AB=2，P是边BC上的任意一点，E是边BC延长线上一点，连接AP。过点P做PF⊥AP，与角DCE的平分线CF相交于点F，连接AF，与边CD相交于点G，连接PG
（1）求证：AP=FP
（2）⊙P,⊙G的半径分别是PB和GD,试判断⊙P与⊙G两院的位置关系,并说明理由
(3)当BP取何值时,PG//CF

（1）连接AC
因为CF是角DCE的平分线
所以∠DCF=∠FCE=45°
又∠ACD=45°（因为AC是正方形的对角线）
所以∠ACF=90°，
又∠APF=90°
所以A、P、C、F四点共圆，且是以AF为直径的圆
由圆内接四边形性质可知，∠PAF+∠PCF=180°
得∠PCF=∠PCD++∠DCF=135°
所以∠PAF=45°
所以直角三角形PAF是等腰直角三角形
所以AP=FP
（2）作AH⊥PG于点H
易证△ABP全等于△AHP，△AHG全等于△ADG
所以可得PB=PH，GD=GH
所以PB+DG=PH+GH=PG
所以可得圆P、圆G两圆相外切。
（3）∠FCE=45°，要使PG//CF
则∠GPC=45°，即CG=CP（此时PB=DG）
因为PB+DG=PG，PG2=CG2+CP2
代入可得（BP+DG）2=（2-BP）2+（2-DG）2
即4BP2=2*（2-BP）2
解得BP=2（根号2-1）