线性代数公式定理

1、行列式
1. 行列式共有 个元素，展开后有 项，可分解为 行列式；
2. 代数余子式的性质：
①、 和 的大小无关；
②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；
③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为 ；
3. 代数余子式和余子式的关系：
4. 设 行列式 ：
将 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为 ，则 ；
将 顺时针或逆时针旋转 ，所得行列式为 ，则 ；
将 主对角线翻转后（转置），所得行列式为 ，则 ；
将 主副角线翻转后，所得行列式为 ，则 ；
5. 行列式的重要公式：
①、主对角行列式：主对角元素的乘积；
②、副对角行列式：副对角元素的乘积 ；
③、上、下三角行列式（ ）：主对角元素的乘积；
④、 和 ：副对角元素的乘积 ；
⑤、拉普拉斯展开式： 、
⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；
⑦、特征值；
6. 对于 阶行列式 ，恒有： ，其中 为 阶主子式；
7. 证明 的方法：
①、 ；
②、反证法；
③、构造齐次方程组 ，证明其有非零解；
④、利用秩，证明 ；
⑤、证明0是其特征值；
2、矩阵
1. 是 阶可逆矩阵：
（是非奇异矩阵）；
（是满秩矩阵）
的行（列）向量组线性无关；
齐次方程组 有非零解；
， 总有唯一解；
与 等价；
可表示成若干个初等矩阵的乘积；
的特征值全不为0；
是正定矩阵；
的行（列）向量组是 的一组基；
是 中某两组基的过渡矩阵；
2. 对于 阶矩阵 ： 无条件恒成立；
3.

4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；
5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均 、 可逆：
若 ，则：
Ⅰ、 ；
Ⅱ、 ；
②、 ；（主对角分块）