职工在拘留期，公司能以其被追究刑事责任为由解除了与其的劳动合同吗？

不能，拘留期间就是留滞审查期，肯定没有法律判决或者定罪。只是犯罪嫌疑人。公司不能无凭据说职工已经犯罪，一般不应开除。只有事情落实有根据了才能开除。
因为协助公安机关调查也是公民的义务。

如果是酒后开车等已知原因的拘留。可以根据其拘留不能承担工作为由根据公司规章处理。

可以的

不能，只能按中止劳动合同处理

刑事拘留应当在人民法院判决后才能处理劳动合同问题。