初二数学下册竞赛试题

在等腰梯形ABCD中，AD=x,BC=y，梯形高为h
（1）用含有x,y,h的关系式表示周长C。
（2) AD=8,BC=12,BD=10√2 ，求证 ∠DCA+∠BAC=90°

首先申明一下，你所给出的图中B与D两字母标错了，应互换。
(1)过D作DE⊥BC,垂足为E，则EC=(y-x)/2
AB=CD=√(DE^2+EC^2)=√[h^2+(y-x)^2/4]
C=x+y+2√[h^2+(y-x)^2/4]
=x+y+√[4h^2+(y-x)^2]
(2)BE=10
DE=√(BD^2-BE^2)= 10
∴△BED为等腰直角三角形
∴∠DBE=45°
∵等腰梯形ABCD
∴∠ACB＝∠DBE=45°,∠BAC＝∠BDC
∴∠ACB+∠DBE=90°,即AC⊥BD
∴∠DCA+∠BDC=90°
∴∠DCA+∠BAC=90°

如图：在直角梯形ABCD中，AD‖BC，∠B=90°，CD=BC+AD,问：在AB上是否存在一点P，使∠CPD=90°？若存在，请把这点找出来，并给予证明；若不存在，请说明理由。 

存在

首先，请你连接DB

再沿射线DA方向平移DB交CB的延长线于E 再连接DE交AB于F

∵AD‖EC AE‖DB

∴四边形ABDE为平行四边形

∴AD=EB ∠FAD=∠FBE ∠FDA=∠FEB

∴△FAD≌△FBE    ∴F为ED的中点  也为AB的中点

∵CD=BC+AD ∴CE=CD

△EDB为等腰三角形

连接CF 

∵等腰三角形 三线合一

∴∠CFD=90

∴F点就是要找的P点

∴P点为AB的中点

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