数学证明题求解。用向量的知识

首先，我们用<AB>表示向量AB，“·”表示点乘。
因为ABC是正三角形，我们假设三边长度均为1。
由向量点乘的定义可知，AR=<AO>·<AB>。
该点乘表示AO线段投影在AB方向上的长度，即AR。
同理，BP=<BO>·<BC>
CQ=<CO>·<CA>

由于<CA>=<CB>+<BA>
所以，AR+BP+CQ=(<AO>-<CO>)·<AB>+(<BO>-<CO>)·<BC>=<AC>·<AB>+<BC>·<BC>

我们已经得到一个和O点无关的表达式，所以AR+BP+CQ为定值。