函数f(x)=lnx/(1+x)-lnx+ln（x+1），f（x）〉=a在a〉0时一定不恒成立

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/14 08:51:23
答案给的方法是在是不好想
该函数在（1，正无穷）上单减，能不能证明这个函数在x趋近于正无穷时不存在一条渐近线呢？
至于方法超不超高中数学的大纲无所谓
x=1/t 从零化到正无限这个我咋就没想到呢......

改写一下题目：
已知函数f(x)=lnx/(1+x)-lnx+ln（x+1）.证明：a>0时，存在x，使f（x）<a.
注意到：a和f(x)无关，所以必须证明a->0时，结论成立，也就是证明：存在x，使得f(x)<=0.
对f(x)求导:f'(x)=(1/x+1-lnx)/(1+x)^2-1/x+1/(x+1)=-xlnx/[(x+1)^2*x]
当x>e时，f'(x)<0,单调递减.
所以，只需证明x->+∞时，f(x)<=0即可.
令x=1/t,f(x)=-tlnt/(t+1)+lnt+ln(t+1)-lnt=[-tlnt+(t+1)ln(t+1)]/(t+1)
t->0+时，f(x)=0，得证。