诺贝尔数学难题

如果按严格的尺规作图来解，三等分角是无解的，这个问题已经得到证明。其理论依据出自于十九世纪发展出来的域论。不过，如果放宽限制，使用有刻度的直尺，则三等分角是可能的。但这在尺规做图法则中是不允许的。 

域论（field theory，或译作“体论”）是抽象代数的分支，研究域的性质。在抽象代数中，域（Field，或译为体）是一种可进行加、减、乘和除（除了除以零之外）运算的代数结构。域的概念是数域以及四则运算的推广。 

关于尺规作图三等分角无解的证明，有一种简单的表述： 

任何可以在尺规作图规定下完成的几何物件，其座标需为规矩数，规矩数的必要条件为一代数数，且最小多项式次数为2的n次方。 假设可以用尺规作图将任意角三等分，代表对任意角度 A，均可以由尺规作图得到 A/3，而cos A/3也会是规矩数。 

令 A = π/3, x =cos A/3 = cos π/9 

根据三倍角公式： 

cos A = 4 (cos A/3)^3 - 3 cos A/3 【^3表示3次方】 

因此 

4X^3 - 3X = cos A = cos π/3 = 1/2 

8X^3 - 6X - 1 = 0 【同上，^3表示3次方】 

此方程式无有理数解，且其次数为3，不满足2的n次方的形式，因此 x = cos π/9 不是规矩数，也就代表无法用尺规作图得到 π/9，与假设矛盾，因此无法用尺规作图将任意角三等分，三等分角问题因而宣告无解。 

刚才提到，如果放宽限制，采用“作弊”的