求教，知递推关系求同项，谢谢！

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/15 20:09:18
a(n)=b*a(n-1)+2^n，求a(n)通项，请给出详细过程和为什么那么做的解释，谢谢 a(1)=2
请给出详细过程和为什么那么做的解释
请给出详细过程和为什么那么做的解释

就是迭代套用:

a(n)=b*a(n-1)+2^n
=b*[b*a(n-2)+2^(n-1)]+2^n=b^2*a(n-2)+[b*2^(n-1)+2^n]
=b*[b*a(n-3)+2^(n-2)]+[b*2^(n-1)+2^n]=b^3*a(n-3)+[b^2*2^(n-2)+b*2^(n-1)+2^n]
=.......
=b^(n-1)*a1+[b^(n-1)*2^1+b^(n-2)*2^2+....+b^2*2^(n-2)+b*2^(n-1)+2^n]
=2·b^(n-1)+b^n·[(2/b)^1+(2/b)^2+....+(2/b)^(n-2)+(2/b)^(n-1)+(2/b)^n]
注意后面的(2/b)^1+(2/b)^2+....+(2/b)^(n-2)+(2/b)^(n-1)+(2/b)^n是等比数列之和；首相为2/b,公比为2/b.用到等比数列求和公式:
(2/b)^1+(2/b)^2+....+(2/b)^(n-2)+(2/b)^(n-1)+(2/b)^n
=(2/b)[1-(2/b)^n]/(1-2/b)
=2·[1-(2/b)^n]/(b-2)
则a(n)=2·b^(n-1)+b^n·[(2/b)^1+(2/b)^2+....+(2/b)^(n-2)+(2/b)^(n-1)+(2/b)^n]
=2·b^(n-1)+b^n·{2·[1-(2/b)^n]/(b-2)}
=2·b^(n-1)+2·(b^n-2^n)/(b-2)
=-4·b^n/[b(b-2)]+2^(n+1) /(b-2)