函数极限定义中的“任意给定”的含义是什么？

定义中说，epsilon是一个“任意给定”的量，那么，
1. “任意给定”和“某个”有什么区别
2. 所谓任意给定是指在某个实数集，比如（0，正无穷）中任意给定吗？
3. 有时epsilon不是直接“任意给定”的。比如在探讨无穷大和无穷小的关系的时候，M是任意给定的正数。epsilon定义为1/M，但是在证明中epsilon同样作为“任意给定”的量使用。类似的，epsilon=2M，-M之类同样作为任意给定。那么，“任意给定”性质通过函数在变量间传递（比如从M传到epsilon）的条件是什么？如何严格地证明通过这样的传递得到的量是，或者不是“任意给定”的？
尤其是第三点，证明题中常常把这看做是不证自明的，但我认为不能这么看

用函数极限定义证明函数极限 ε-δ定义 是 什么 (自然科学 的 函数极限 问题) 设x为任意给定实数，又设Yn=sinsin...sinx,证明{Yn}的极限存在，并求出此极限 函数极限的问题 函数的极限 excel 函数 给定条件的和 在函数极限的定义中ε和δ是怎么对应的? 求极限，求一个函数的极限 耐火极限的定义是什么？ 如何理解“极限”的定义