已知点D是边长为1的正三角形ABC的内心。EF分别是AB、AC边上的两动点，满足角EDF=6

来源：百度知道编辑：UC知道时间：2024/06/20 00:36:48

已知点D是边长为1的正△ABC的内心,E、F分别为边AB、AC上的两动点，满足∠EDF=60°，求证：三角形AEF的周长为定值

可以证明。

过D做AC和AB的垂线交与H G

找到一个 I 点，使∠EDI = 60度

可以证明。

过D做AC和AB的垂线交与H G

找到一个 I 点，使∠EDI = 60度

那么三角形HDF和GDI全等。

证明：

∠HDG=120 ∠FDI=120 （2个60度相加）

∠HDG-∠FDG = ∠FDI-∠FDG

∠HDF = ∠GDI

DH=GD

∠DHF = ∠DGI = 90度

由此可知FD=ID

那么三角形FDE和IDE全等。

证明：

因为 FD=ID

ED=ED

∠FDE = ∠IDE = 60°

由此可知 FE=IE （蓝色线）

那么三角形AFD和BID全等。

证明：

∠ADB=120 ∠FDI=120 （2个60度相加）

∠ADB-∠ADI = ∠FDI-∠ADI

所以 ∠BDI = ∠FDA

因为FD=ID，AD=BD

那么，AE = BI (红色线)

最后，AE+EF+FA = AE+EI+IB = 单边长。

为固定值。