80分！四道初二数学题

1、已知：如图，∠BDC＝∠CEA＝∠FGB，求证：BE·BA＋CD·CA＝BC·BC

2、已知：如图，在正方形ABCD中,AD=12，点E是边CD上的动点（点E不与端点C,D重合），AE的垂直平分线FP分别交AD,AE,BC于点F,H,G，交AB的延长线于点P．
（1）设DE=m(0<m<12)，试用含m的代数式表示FH:HG的值；
（2）在（1）的条件下，当FH:HG=1:2时，求BP的长．

3、在等边三角形ABC中，P、Q为AB、AC中点，D为PQ上一点，直线CD交AB于F，直线BD交AB于E，求证：(1/CE)+(1/BF)=(3/BC)

4、8、一直线截△ABC的三边BC、CA、AB分别于X、Y、Z，求证：
(BX/CX)·(CY/YA)·(AZ/BZ)=1

第一题。已知：如图，∠BDC＝∠CEA＝∠FGB，求证：BE•BA＋CD•CA＝BC²
证明：因为∠BDC＝∠CEA＝∠FGB
故：A、E、F、D四点共圆；G、F、D、C四点共圆；B、E、F、G四点共圆
故：BE•BA＝BF•BD＝BG•BC；CG•BC＝CF•CE＝CD•CA
故：BE•BA＋CD•CA＝BG•BC＋CG•BC＝BC²

第二题。已知：如图，在正方形ABCD中,AD=12，点E是边CD上的动点（点E不与端点C,D重合），AE的垂直平分线FP分别交AD,AE,BC于点F,H,G，交AB的延长线于点P．
（1）设DE=m(0<m<12)，试用含m的代数式表示FH:HG的值；
（2）在（1）的条件下，当FH:HG=1:2时，求BP的长．
解：（1）连接EF，过G作GM⊥AD，垂足为M
不难证明：△ADE≌△GMF(AAS)
故：GF=AD=12,FM=DE=m
不难求出AH=1/2AE=1/2√(144＋m²）
因为AE的垂直平分线FP，故：EF＝AF， AH=1/2AE=1/2√(144＋m²）
在Rt△DEF中，EF²=DF²+DE²=(AD-AF) ²+DE²=(AD-EF) ²+DE²
故：EF=6+m²/12=AF
故：FH=m√(144＋m²）/24，故：HG＝12－m√(144＋m²）/24
故：FH:HG= [m√(144＋m²）/24)/[ 12－m√(144＋m²）/24]= m√(144＋m²）/[ 288-m√(144＋m²）]
(2) FH:HG=1:2,即：m√(144＋m²）/[ 288-m√(144＋m²）] =1:2
故：m=4√3