求助 概率统计问题 0202

1.求期望与方差
E(x)=∫xf(x)dx=∫x*e^(-x)dx x∈（0 +∞）
=-x*e^(-x)-e^(-x)
代入得：
=1

E(x^2)=∫x^2f(x)dx=∫x^2*e^(-x)dx x∈（0 +∞）
=-x^2*e^(-x)+∫2xe^(-x)dx
=-x^2*e^(-x)-2x*e^(-x)-2e^(-x)
代入得：
=2

D(x)=E(x^2)-[E(x)]^2=2-1=1

2.
E(e^(tx))=∫e^(tx)f(x)dx=∫e^[(t-1)x]dx x∈（0 +∞）
=e^[(t-1)x]/(t-1)
代入x得
因为t<1 ,所以t-1<0
则为：0-1/(t-1)=1/(1-t)

3.
E(x^n)=∫x^nf(x)dx=∫x^n*e^(-x)dx dx x∈（0 +∞）
=-x^n*e^(-x)+n∫x^(n-1)*e^(-x)dx
一直使用分部积分，
=-x^n*e^(-x)-nx^(n-1)*e^(-x)+n(n-1)∫x^(n-2)*e^(-x)dx
=....
=-x^n*e^(-x)-nx^(n-1)*e^(-x)+n(n-1)x^(n-2)*e^(-x)+....-n!e^(-x)
代入x得
显然，当x趋向+∞时，
limn(n-1)*...(n-i)x^(n-i-1)*e^(-x) (使用罗必塔法则）
=n(n-1)*...(n-i)x^(n-i-1)/e^x
(使用罗必塔法则,上下求导知道分子不含x）
则最后为0.

所以积分等于n!

即：E(x^n)=n!

第一问求平均值和方差 是指数分布的 比较好求 后面两问实际上也是求期望值 利用的是随机变量函数的分布，等会给详解。
第一问;E[x]=S(x*f(x))dx从负无穷到正无穷，积分结果为1
D【x】=S（x*x*f(x))dx从