函数f(x)=xcosx 的导函数 在区间[-π, π] 上的图像大致是如何的

f'(x)
=x'·cosx+x·(cosx)'
=cosx-x·sinx

f'(-x)=cos(-x)-(-x)·sin(-x)
=cosx-x·sinx=f'(x),则f'(x)是个偶函数.

f'(0)=1;

要知道f'(x)的形状,还需求出f''(x)和f'''(x).
f''(x)=-sinx-(sinx+x·cosx)
=-x·cosx-2sinx.
当f''(x)=0时,x=0;

f'''(x)=-(cosx-x·sinx)-2cosx
=x·sinx-3cosx.
f'''(0)=-3<0,说明在x=0处,函数f'(x)=cosx-x·sinx是凹性的.
则在区间[-π,0)上,f'(x)单调递减;
在区间[0,π] 上,f'(x)单调递增