已知矩阵A可对角化，证明A的伴随矩阵也可对角化

证明：
矩阵A可对角化，
则存在可逆阵P，使P^(-1)AP=N为对角阵,
P*[P^(-1)AP]*P^(-1)=PNP^(-1)
A=PNP^(-1),
A可逆，
则
A^(-1)=[PNP^(-1)]^(-1)
=PN^(-1)P^(-1)

A*为A的伴随矩阵，
则A*(A*)=|A|E，
A*=A^(-1)|A|E=|A|A^(-1)
=|A|PN^(-1)P^(-1)
=P*[|A|*N^(-1)]P^(-1)

则
P^(-1)*(A*)*P=|A|N^(-1)

因为N为对角阵，则N^(-1)为对角阵，
从而|A|*N^(-1)为对角阵，

所以根据定义可知，
A的伴随矩阵A*也可对角化。

首先如果A*为A的伴随矩阵，那么A*=A^(-1)*|A|。

矩阵A可对角化意味着存在可逆阵P，使
A=P^(-1)*diag(a1,...,an)*P，(1)
其中diag(a1,...,an)表示对角线元素为a1,...,an的对角矩阵。
那么对(1)式两边求逆（因为A可逆，所以|A|不等于0，从而a1,...,an都不为0）
A^(-1)=P^(-1)*diag(a1^(-1),...,an^(-1))*P,
故
A*=A^(-1))*|A|=P^(-1)*diag(a1^(-1)*|A|,...,an^(-1)*|A|)*P,。
所以
A*可以对角化。

由于符号不好表示，我们记A的伴随矩阵为B，|A|=d，则AB=BA=dE;
如果d≠0则A可逆有B=dA^(-1)
由条件A可对角化则A与一个可逆的对角矩阵Q相似存在可逆的P使得
A=P^(-1)QP为一个对角阵则A^(-1)=P^(-1)Q^(-1)P
则B=dA^(-1)=dP^(-1)Q^(-1)P=P^(-1)[dQ^(-1)]P