UC知道证明连续性
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/24 18:14:00
如果实数X<=0,那么F(X)=-2
如果实数X>0.那么F(X)=3
利用函数连续性的定义证明F在0处不连续。谢谢
第一个差不多明白了。但还有一题，希望能解答。。非常感谢！
有一个函数F:X——R， f(x)=x^n
试证明，任意一个正整数n，都能是f(x)在a包含于X的导数 等于f`(a)=na^n-1
谢谢。
非常感谢2楼的回答，但是好像题目不是那个意思。因为题目最后给了一个提示，说的是：“请注意差商可以写成 Á(h) = (（a+h)^n - a^n) /h
非常感谢！
嗯嗯，基本上看明白了，也回忆起了很多东西，最后一个问题：为什么要舍去了h^2以上的小量呢？？小弟不才，望指教。。呵呵
还有，我想起了以前的还一种极限的证明方法，不知道有什么不同呢？或者在这道题中用哪个好点？
f'(x)=lim(Δx->0) (f(x+Δx)-f(x))/Δx
=lim(Δx->0) ((x+Δx)^n-x^n)/Δx
=lim(Δx->0) (nΔx·x^(n-1)+ A )/Δx
分子中除了第一项nΔx·x^(n-1)外，Δx的次数都至少是2，不再列出用 A 表示
所以 A/Δx->0
所以f'(x)=lim(Δx->0) (nΔx·x^(n-1)+ A )/Δx
=lim(Δx->0) nx^(n-1)
=nx^(n-1)
lim(x→0+)F(X)=-2
lim(x→0-)F(X)=3
lim(x→0+)F(X)≠lim(x→0-)F(X)
所以函数F(X)，X=0处不连续
第二个问题就是证明，对于任意n，在F（X）的任意点可导。
首先对于任意的n，任意的X
F（X）=lim(x→X+)F(X）=lim(x→X-)F(X)=X^n，
可知道，F（X）在X处连续，
f`(X)|X→X+=nX^(n-1)
f`(X)|X→X-=nX^(n-1)
f`(X)|X→X+ = f`(X)|X→X-
所以 F（X）在X处可导
所以得证
题目的意思，我理解的是正确的，只是……万恶的教材啊，
是不是LZ教材里没学过f(x)=x^n的导数是什么呢？
所以题中的意思指不过就是让你先证明一遍
f`(X)=nX^(n-1)，然后再按我这么证明而已。
关于这个导数的证明，因为符号不好打的关系，我用C（i,j）表示组合数
Á(h) = (（a+h)^n - a^n) /h（h是一个任意小的正数）
=（a^n+c(n,1)a^(n-1)h+^...+c(n,n-1)ah^(n-1)+h^n-a^n）/h
=c(n,1)a^(n-1)h/h(此处舍去了h^2以上的小量)
=na^(n-1)
f`(X)=nX^(n-1)，就是这么证明出来的。
LZ明白了吧
关于第三个问题
请问LZ，下面的这个式子是怎么来的？
lim(Δx->0) ((x+Δx)^n-x^n)/Δx
=lim(Δx->0) (nΔx·x^(n-1)+ A )/Δx
只不过换了个表示的字母而已，其他的和我说的方法本质是一样的吧。
在数学里，无穷小的整式就可以被看作是0. 就是这么简单的道理。
如果LZ非要说这个是两种方法的话，应该是用哪种都对
F-(0)=F(0)=-2
F+(0)=3!