69,90,125被某个自然数除时,余数相同,试求这个自然数的最大值。

90-69=21
125-90=35
125-69=56
21,35,56的最大公约数是7
所以这个自然数的最大值是7

不防设某个自然数为a，余数为b，又设m、n、k均为整数。根据题意有：
69-ma=90-na=125-ka=b
即：
m=(69-b)a
n=(90-b)a
k=(125-b)a
两式相减得：
n-m=21/a，因21＝3*7,a只能取3,7,21
k-n=35/a，因35＝5*7，a只能取5,7,35

若想两式都成立，只能取a=7一个值，不存在最大和最小取值。这时：
69/7=9......6
90/7=12.....6
125/7=17......6

所以，这个自然数只能取7。

90-69=21
125-90=35
125-69=56
21,35,56的最大公约数是7
所以这个自然数的最大值是7