设P为三角形ABC内一点，且向量AP=3/4倍的向量AB+1/5倍的向量AC,求三角形ABP的面积与三角形ABC的面积之比为

在AB边上作AE=3/4*AB,在AC边上作AF=1/5*AC,
则有,
向量AP=向量AE+向量AF.

而,|EP|/sinBAP=|AP|/sinAEP,sinAEP=sinBAC,则有
|EP|sinBAC=|AP|sinBAP.
S-三角形ABP的面积=1/2*|AB|*|AP|*sinBAP,.....(1)
S-三角形ABC的面积=1/2*|AB|*|AC|*sinBAC.......(2),
而,|EP|=|AF|=1/5*|AC|.
(1)/(2)式,得,
S-三角形ABP的面积:S-三角形ABC的面积
=|EP|:|AC|
=1/5:1
=1/5.

则,三角形ABP的面积与三角形ABC的面积之比为1/5.

作 PD//AC交AB于D，作PE//AB交AC于E
则：AD=3/4AB, AE=1/5AC
S(ADE)=1/2S(ADPE)=S(ADP)=1/2*AD*AE*sinA
=1/2*3/4*AB*1/5AC*sinA
=3/20*S(ABC)
又 S(ADP)=3/4 S(APB)
故：3/4S(APB)=3/20 S(ABC)
S(APB)/S(ABC)=1/5