设三角形的边长为3,4,5,P三角形内一点,则P到这个三角形三边距离乘积的最大值的多少?

一楼思路很好，试补全书写——

1.交代图形和符号

由于边长比例是3:4:5，所以可以确定是直角三角形，画图如下：选 B 为直角，AB=4，BC=3，AC=5。P点垂直 AB 交于 D，长度为 a ；交 BC 于 E，长度为 b ；交 AC于 F 长度为 c 。

2.面积法列出方程

引辅助线PA、PC，则有

S(APC) = 1/2*(5*c).......表示三角形APC面积，下同
S(PAD) = 1/2*(4-b)*a
S(PCE) = 1/2*(3-a)*b

S(ABC) = S(APC) + S(PAD) + S(PCE) + a*b = 3*4/2
化简为：4a + 3b + 5c = 12

4a + 3b + 5c ≥3（4a*3b*5c）^1/3
得到abc≤64/60 = 16/15

以上解算，仅供参考。

设到三边距离分别是a b c
则用面积发 3a + 4b + 5c=20
由基本不等式 3a + 4b + 5c≥3（3a*4b*5c）^1/3
既abc≤400/81
故最大值为400/81