高中数学三角函数题目

设另一内角为C，设角A,B,C对应的边分别为为a,b,c。
cos(A+B)=cos(∏-C)=-cos(C)，原式就变成了-cos(C)<cosA+cosB，即只需证cosA+cosB+cosC>0,
由余弦定理，上式可转化为
(a^2+b^2-c^2)/2ab+(b^2+c^2-a^2)/2bc+(a^2+c^2-b^2)/2ac>0，
不等式两边同乘以2abc（显然2abc必是正数），上式变为
c×a^2+c×b^2-c^3+a×b^2+a×c^2-a^3+b×a^2+b×c^2-b^3>0,
整理后变为
(c+b)a^2+(a+b)c^2+(a+c)b^2>a^3+b^3+c^3，
又三角形任两边之和大于第三边，即a+b>c且a+c>b且b+c>a,因此上式显然成立。
证明时只须用反证法按上面逻辑顺序即可导出矛盾。

（1）几个预备知识。(A)cosa+cosb=2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]（和差化积）.(B)cos(a+b)=2{cos[(a+b)/2]}^2-1.(倍角公式）(C)cos[(a-b)/2]-cos[(a+b)/2]=2sin(a/2)sin(b/2)(应用和差化积可得）(D)a+b=180-c.==>(a+b)/2=90-(c/2).===>cos[(a+b)/2]=cos[90-(c/2)]=sin(c/2).（2）证明：(差法证明）(cosa+cosb)-cos(a+b)=2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]-2{cos[(a+b)/2]}^2+1=2cos[(a+b)/2]*{cos[(a-b)/2]-cos[(a+b)/2]}+1=4sin(a/2)sin(b/2)sin(c/2)+1＞0,===>(cosa+cosb)-cos(a+b)＞0.===>cosa+cosb＞cos(a+b).

因为A>0所以，B<A+B
因为0<A+B<180,0<B<180
所以有0<B<A+B<180
所以 cos(A+B)<cosB<