高考数学问题:M,N,P分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1,B1C1,C1D1的中点

两种方法
一，几何法
1.连结A1P，易证A1P垂直于D1N，又因为AA1垂直于D1N（AA1垂直于面A1B1C1），可以证出AP垂直于D1N，同理可证，AP垂直于D1M，所以证出AP垂直于平面D1MN。
2.作CG垂直于MN于G，连结D1G，则角C1D1G为C1D1于平面D1MN所成的角（这个可以简单证明一下）。在三角形CD1G中，C1D1垂直于C1G，tan =四分之根号二 再算出sin=1/3
二，向量法
以D1为坐标原点，A1D1,D1C1,DD1所在直线为X轴 Y轴 Z轴，建立空间直角坐标系。设正方体边长为2，那么
各点坐标D1(0,0,0)D(0,0,2)A1(2,0,0)A(2,0,2)B1(2,2,0)B(2,2,2)C1(0,2,0)C(0,2,2)M(0,2,1)N(1,2,0)P(0,1,0)
AP=(-2,1,-2) D1M=(0,2,1) D1N=(1，2,0)
所以，AP*D1M=0 AP*D1N=0
AP垂直于D1M AP垂直于D1N
故AP垂直于D1MN
（2）问 设面D1MN的法向量m为（x,y,z）
由于法向量垂直于D1M D1N
可列式：2y+z=0 x+2y=0
取x=2代入，法向量m为（2，-1，2）
由于C1D1=(0,2,0)
cos〈m，C1D1〉=（m*C1D1）/｜C1D1｜*｜m｜=-1/3
所以C1D1与面D1MN的夹角sin=1/3

电脑打的比较简单，不知道你明白没，一般立体几何都可以用这两种方法解决，看看你习惯哪种，几何法需要空间想象能力，向量法则偏重计算，加油哦！

联结BC1 AD1,易证MN垂直ABC1D1则AP_|_MN.过P作PE平行ND1联结BN.AN经计算三角形APE是值角形所以AP垂直ND1所以AP垂直MND1.(2)作C1F垂直MN即为垂线,再计算即可得出arctan四分之根二