当0小于X小于Y小于1时，证明：X^Y+Y^X大于1

当x>=0.5时，y也大于0.5(y>x>0).由于x和y都小于1,此时有：
x^(y-1)=1/[x^(1-y)]>1。所以，x^y/x>1,x^y>x
(由于0<x<1,(1-y)>0,所以：0<x^(1-y)<1)
同样可证明：
y^x>y
这样，x^y+y^x>x+y>0.5+0.5=1,即x^y+y^x>1
下面证明当x<y<=0.5的情形。此时有：
x^y=[1-(1-x)]^y
将上式展开为泰勒级数：
x^y=1-y(1-x)+y(y-1)[(1-x)^2]/2!-y(y-1)(y-2)[(1-x)^3]/3!+...
上式右边各项前的符号是交叉变化的。即第1项是正的，第2项是负的;第3项是正的，第4项是负的...
此级数是收敛的。第3项与第4项的系数比的绝对值是：
|3!/[2!（y-2)]|=|3/（y-2)|>1
同样可以证明第5项与第6项的系数比的绝对值大于1,亦即第2m-1项与2m项的系数比的绝对值大于1。
由于(1-x)<1,所以第3项的绝对值大于第4项的绝对值，即y(y-1)[(1-x)^2]/2!-y(y-1)(y-2)[(1-x)^3]/3!>0
同样可以证明第5项与第6项的和大于0,亦即第2m-1项与2m项的和大于0。这样x^y的展开式可以写为前两项加上一个正数c：
x^y=1-y(1-x)+c>1-y(1-x)
同样可以证明:
y^x>1-x(1-y)
这样，
x^y+y^x>1-y(1-x)+1-x(1-y)=1+1-y(1-x)-x(1-y)=1+1-x-y+2xy
由于x<y<=0.5
所以x+y<0.5+0.5=1,所以：1-x-y>0。这样：
x^y+y^x>1+1-x-y+2xy>1+2xy>1.
证毕。

你去死 ，没分还来混