已知函数f(x)=ax2+bx+c,当|x|小于等于1时,|f(x)|小于等于1,求证:|b|小于等于1

证明：

因|x|≤1时，有 |f(x)|≤1

则x=1时，有－1≤f(1)≤1
即 －1≤a+b+c≤1 （*）

x=－1时，有－1≤f(－1)≤1
即－1≤a－b+c≤1
此不等式乘以－1得
－1≤－a＋b－c≤1 （**）
不等式（*）和（**）相加得
－2≤2b≤2
即 －1≤b≤1
所以
|b|≤1

得证。