已知在梯形ABCD中，AB‖DC，且AB=40cm，AD=BC=20cm，∠ABC=120°．

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/02 07:39:04
点P从点B出发以1cm/s的速度沿着射线BC运动，点Q从点C出发以2cm/s的速度沿着线段CD运动，当点Q运动到点D时，所有运动都停止. 设运动时间为t秒．
⑴如图1，当点P在线段BC上且△CPQ∽△DAQ时，求t的值；
⑵在运动过程中，设△APQ与梯形ABCD重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

由题可知道，ABCD为等腰梯形，CD=2*20*COS60°+40=60(cm)
高为20*SIN60°=10√3（cm）

因为60°>∠PQC>0°
所以∠PQC<∠D
而120°> ∠DAQ>60°（CQ=2BP<2BC=40,所以DQ>60-40=20,所以∠DAQ>60°）
所以∠DAQ> ∠PQC
所以要使△CPQ∽△DAQ，只能∠PQC=∠AQD
所以DQ/QC=AD/PC
(60-2t)/2t=20/(20-t)
40t=1200-100t+2t²
t²-70t+600=0
t=10或者t=60
而BP<BC,所以t<20
所以t=10秒

（2）P在BC上时，即t<20
S(APQ)=S(ABCD)-S(ABP)-S(ADQ)-S(CPQ)
=(40+60)*10√3/2-AB*BP*sin60°/2-DP*10√3/2-CQ*CP*sin60°/2
=500√3-10√3*t-(60-2t)*5√3-2t*(20-t)*√3/4
=500√3-10√3*t-300√3+10√3*t-10√3*t+√3t²/2
=√3t²/2-10√3*t+200√3
=√3/2(t²-20t+400)
=√3/2(t-10)²+150√3
当P在CD上时，即60/2≥t≥20
S(APQ)=PQ*10√3/2
=[2t-(t-20)]*5√3
=(t+20)*5√3

所以S=√3/2(t-10)²+150√3.....(20>t≥0)
S=(t+20)*5√3.............(30≥t≥20)