UC知道椭圆圆冠面积
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/17 15:07:27
可以用中等数学范畴内的方法解决吗？
高一 物理竞赛里有一个这样的模型
用投影面积法做，把椭圆想象成成空间斜放的图形，并使投影刚好是以短轴为直径的正圆。找出椭圆中弦在圆中的投影，然后就可以计算相应的投影弓形面积，最后用弓形面积乘以（长轴/短轴）就得到了。
至少中学里物理用过这种方法吧！
如图
设椭圆长半轴a,段半轴b,A点的X坐标:-m,B点的X坐标:n
将椭圆在X方向作压缩,使长半轴的长度变成b
则:椭圆将变成半径b的圆,如右图
A变成了A1,B变成了B1
A1点的X坐标:-m1, m1=(b/a)m
B1B点的X坐标:n1, n1=(b/a)n
cos角1=m1/b=m/a, 角1=arccos(m/a)
cos角2=n1/b=n/a, 角2=arccos(n/a)
角A1OB1=pi-角1-角2
圆的阴影面积=(b^2/2)角A1OB1-三角形A1OB1面积
=(1/2)b^2*pi-(1/2)b^2*(arccos(m/a)+arccos(n/a))-(1/2)b^2*sin角A1OB1
=(1/2)b^2*pi-(1/2)b^2*(arccos(m/a)+arccos(n/a))-(1/2)b^2*sin(角1+角2)
=(1/2)b^2*(pi-arccos(m/a)-arccos(n/a)-sin(arccos(m/a)+arccos(n/a)))
椭圆的阴影面积=(a/b)圆的阴影面积
=(1/2)ab*(pi-arccos(m/a)-arccos(n/a)-sin(arccos(m/a)+arccos(n/a)))
