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来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/25 14:52:37
已知抛物线与x轴交于点A(-2,0)和点B，与y轴的负半轴交于点C，其对称轴是直线x=1，且tan∠CAO=2。点P为抛物线在第四象限部分上的一点，PM垂直于x轴，垂足为M；PM与BC交于D，直线DE平行于x轴，交AC于点E。
（1）求这条抛物线的函数关系式
（2）求当三角形ODE的面积最大时点P的坐标
（3）这段抛物线上是否存在点P，使以C、D、O、E为顶点的四边形为梯形，若存在，求所有符合条件的点P的坐标；若不存在，清说明理由

1)设函数关系为y=Ax^2+Bx+C,有三个条件，函数曲线交于A（-2，0）；交于C；对称轴是直线x=1；
tan∠CAO=2，故知C点的坐标为（0，-4）；
函数两边对x求导，然后将x=1代入。
联立求解，可得y=(1/2)x^2-x-4;
2)先计算直线AC和CB的函数关系：
有AC:y=-2x-4;
CB: y=x-4
设D点的坐标为(a,b),则b=a-4(在AC直线上），求E点的坐标（-(1/2)a,b)
三角形ODE的面积S=（1/2)*(3/2)ab=(3/4)a(a-4);
两边对a求导，得dS/da=(3/2)a-3=0,
则D点的坐标就是a=2,b=-2;
也就是P点一定是在x=2这条直线上；
（3）因为CD的斜率为45度，若要C、D、O、E为顶点的四边形为梯形，即OE的斜率也要为45度，也就是E点的X轴坐标和Y轴坐标的绝对值相等。
有！-(1/2)a！=！b!=!a-4!,由于a小于4，故有
(1/2)a=4-a，得a=8/3
存在这样的P点，其横坐标为8/3.

解：tan∠CAO=2
A0=2 CO=2AO=4
交Y轴与(0,-4)
对称轴为x=1
B（4，0）
设y=a(x-4)(x+2)
代入y=1/2x^2-x-4