UC知道大二，线性代数习题，求详细解答
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/03 02:21:57
设二次型
f(X1,X2,X3)=X1²+X2²+X3²-2(X1X2)-2(X2X3)-2(X3X1),
1求出二次型f的矩阵A的全部特征值
2求可逆矩阵P，使（P的逆阵乘以AP)成为对角阵
3计算A的m次方的绝对值（m是正整数）
很多数学符号我打不出来或者大不清楚题目中的“²”是平方
f(X1,X2,X3)=X1²+X2²+X3²-2(X1X2)-2(X2X3)-2(X3X1),
1求出二次型f的矩阵A的全部特征值
2求可逆矩阵P，使（P的逆阵乘以AP)成为对角阵
3计算A的m次方的绝对值（m是正整数）
很多数学符号我打不出来或者大不清楚题目中的“²”是平方
(1)A=
|1,-1,-1|
|-1,1,-1|
|-1,-1,1|
由特征方程|A-入E|=0，得到入(2-入)^(入+1)=0,所以三个特征值分别是-1,2,2
代入(A-入E)x=0，求得三个x特征向量分别是(也就是方程的基础解系)
-1对应的解系(1,1,1),2对应的解系(1,1,-2),(1,0,-1)
(2)所以可逆矩阵P=
|1,1,1|
|1,1,-2|
|1,0,-1|
特征值矩阵B=
|-1,0,0|
|0,2,0|
|0,0,2|
使得A=P^(-1)BP
(3)A的行列式|A|=|B|=-4
所以|A^m|=|A|^m=(-4)的m次方