高二数学题 不等式.急急急

①柯西不等式
（x²+y²+z²）（1+1+1）≥(x+y+z)²=1
∴ x²+y²+z²≥1/3
②基本不等式
x²+y²≥2xy
y²+z²≥2yz
x²+z²≥2xz
∴ 3(x²+y²+z²)≥x²+y²+z²+2xy+2yz+2xz=(x+y+z)²=1
∴ x²+y²+z²≥1/3

解：x²+y²≥2xy, x²+ z²≥2xz, y²+z²≥2yz
故：2(x²+y²+z²)≥2xy+2xz+2yz
故：3(x²+y²+z²)≥x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz
故：3(x²+y²+z²)≥(x+y+z) ²=1
故：x²+y²+z²≥1/3

x+y+z=1
所以（x+y+z）的平方=x的平方+y的平方+z的平方+2xy+2yz+2xz=1
这时2（x的平方+y的平方+z的平方）=2-4xy-4yz-4xz大于等于2xy+2yz+2xz

所以xy+yz+xz小于等于1/3

所以x的平方+y的平方+z的平方=1-2xy-2yz-2xz大于等于1/3

由x+y+z=1，两边平方得x^2 + y^2 + z^2 + 2xy +2xz + 2yz=1,再由基本不等式得2xy <= x^2 +y^2,从而 1= x^2 + y^2 + z^2 + 2xy +2xz + 2yz <= 3(x^2 + y^2 + z^2 ),
x^2 + y^2 + z^2>=1/3