高考数学问题:一块锐角为45度的三角板ABC

1、在平面ABC中延长AB至F，使BF=AB，连结CF，则三角形AFC也是等腰直角三角形，<ACF=90°，<ACD=90°,<DCF为平面ACD和平面ACF形成的二面角的平面角，<DCF=90°,CD⊥AC，CD⊥CF，CD⊥平面ABC，CD⊥AB，BC⊥BC，∴AB⊥平面BCD（同时垂直平面上二条相交直线）
2、在三角形ABD中作BM垂直AB，交AD于M，连结CM，从上所知，CD⊥平面ABC，
BD⊥AB（三垂线定理），BC⊥平面ABD，得到BC⊥AD，AD同时垂直MB和BC，AD垂直平面MBC，从面得到MC⊥AD，即<BMC是B-AD-C二面角的平面角，AB=a,BC=a,AC=√2a,CD==√6a/3,AD=2√6a/3,BD=√15a/3,用面积求高法解出MB=√10a/4，CM==√2a/2，在三角形MBC中，根据余弦定理，cos<CMB=(MC^2+MB^2-BC^2)/(2MB*MC)
<CMB=arccos(1/8) 此二面角余弦值为1/8。
3、在三角形BCD中作CN⊥BD，交BD于N，AB⊥BD，AB⊥BC，AB⊥平面BDC，AB⊥CN
所以CN⊥平面ABD，即CN是点C至平面ABD的距离，CD=√6a/3,BC=a,BD=√15a/3,CN==√10a/5.
4、三角形 ADC绕轴AC旋转，则D点射影应CF上，设D点距平面ABC距离为h,则h=CD*sin<DCF,当<DCF=90度时正弦值最大，故应在二三角板相互垂直时h最大，三棱锥D-ABC的体积为底面积ABC与高h的乘积的三分之一，底面积不变，故高最大时体积最大。故二面角为90度时体积最大。

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