不等式的导数证明

方法一：利用均值不等式
对于m+1个数，其中m个(2+m)，1个1,它们的算术平均数大于几何平均数，即
[(2+m)+(2+m)+...+(2+m)+1]/(m+1)>[(2+m)^m]^[1/(1+m)]
即1+m>(2+m)^[m/(1+m)]
即(1+m)^(1/m)>[1+(m+1)]^[1/(1+m)]
由此说明数列{(1+m)^(1/m)}是单调递减的。

方法二：导数方法
令f(x)=(1+x)^(1/x),x>0
求导数
f'(x)=(1+x)^(1/x)*[x/(1+x)-ln(1+x)]/x^2
为了考察f'(x)的正负
令g(x)=x/(1+x)-ln(1+x),x>=0
g'(x)=-x/(1+x)^2<0,x>0
因此g(x)<g(0)=0,x>0,亦即f'(x)<0
因此f(x)在(0,+∞)上单调递减。

(a+b)^n =C(n,0)a^nb^0 + C(n,1)a^(n-1)b^1 + …… + C(n,n)a^0b^n (n>=0 , n∈R, a,b∈R)

C(n,k) = n! / k!(n-k)! (k>0 , n>=k , n,k∈R)

套这两个公式推吧...