给定一个抛物线y2=2x,设A(a,0),P为抛物线上一点,且|PA|=d,试求d的最小值

|PA|=sqrt((x-a)^2+2x)=sqrt((x-(a-1))^2+2a-1)
当a>=1的时候x取a-1，|PA|最小值为sqrt(2a-1)
当0<a<1的时候，x取0，|PA|最小值为a

给定一个抛物线y²=2x,设A(a,0)（a>0）,P为抛物线上一点,且|PA|=d,试求d的最小值.

解：设P(y²/2,y)，D(y)=d²=(y²/2-a)²+(y-0)²,即 D(y)=(y^4)/4+(1-a)y²+a²,
D´(y)=y³+2(1-a)y=y(y²+2(1-a))，D"(y)=3y²+2(1-a)，

1) 当0＜a＜1时，0＜y²+2(1-a)，0＜D"(y)=3y²+2(1-a)，
令D´(y)=0，得唯一驻点y=0,且为极小值点，此时d=√D(0)=a

2) 当1＜a时，2(1-a)＜0，0＜2a-2,
令D´(y)=0，得驻点y=0 or ±√(2a-2),
D"(0)=2(1-a)＜0，y=0为极大值点；
D"(±√(2a-2))=2(2a-2)＞0，y=±√(2a-2)为极小值点，
此时d=√D(±√(2a-2)=√(2a-1).

3) 当1=a时，D(y)=(y^4)/4+1,y=0为极小值点，此时d=√D(0)=1.

情况3)可以并入情况1),总之，
当0＜a≤1时，d的最小值为a；
当a＞1时，d的最小值为 √(2a-1).

解：由题意可设点P(2t^2,2t).(t为任意实数）。则有d^2=[2t^2-a]^2+(2t)^2=4[t^2-(a-1)/2]^2+2a-1.(1)当0<a<1时，易知，此时若t=0,则dmin=a.(2)当a≥1时，易知，此时若t=√[(a-1)/2],则dmin=√(2a-1).综上知，当0<a<1时，dm