高中数学~由数列递推式求通项

有没有听过特征方程？很多数列递推式都可以用递推构造等差或等比数列，这也是数列递推式求通项的基本方式！
我先解这道题吧，关键是左右两边都减1，然后倒过来。这个减一也是有迹可循的——特征方程！
解：（说明：我用a【n】表示，避免混乱）
由 a【n+1】 = 1/（2-a【n】）
得 a【n+1】-1 = 1/（2-a【n】）-1
即 a【n+1】-1 = （a【n】-1 ）/(2-a【n】)
所以1/(a【n+1】-1)=(2-a【n】)/（a【n】-1 ）
即1/(a【n+1】-1)=-1+1/（a【n】-1 ）
所以{1/（a【n】-1 ）}是以1/(a【1】-1)为首项，-1为公差的等差数列
所以1/（a【n】-1 ）=1/(a【1】-1)-（n-1）
所以a【n】=[a【1】-（n-1)(a【1】-1)]/[1-(n-1)(a【1】-1)]
好像很神奇，这步-1，其实是由特征根得到的：把a【n】和a【n+1】换为x得到特征方程：x=1/(2-x)一元二次方程，得到解（如这道x=1）左右两边都减去得到的解，倒数，然后可以化为类似上面化出的关于a【n】加系数的递推公式，可能是等差，也可能是等比，构造好后，求出构造的数列的通项，再化出a【n】。
一般特征方程是一个解就化出等差，两个解就是等比（两解任选），不过也可都选两式再相除得等比数列。以上是倒数型的解法。叫特征方程或不动点法
要不我出一道给你练练：a【n+1】=2/(a【n】-1）

当a1=1时,a(n)=a1=1(常数列)
当a1≠1时,由不动点知1/(a(n+1)-1)=[1/(a(n)-1)]-1
则1/(a(n)-1)是以1/(a1-1)为首项,-1为公差的等差数列.
所以1/(a(n)-1)=[1/(a1-1)]-(n-1)
化简即可求得a(n).

解：a(n+1)=1/[2-an]===>[1/a(n+1)]=2-an.===>[1/a(n+1)]-1=1-an.===>[1-a(n+1)]/a(n+1)=1-an.===>a(n+1)/[1-a