高一数学竞赛福建试题，答对高分追加

解：设a是集合M中最小的元素，则存在唯一的整数q,r使得2009=qa+r，其中0≤r＜a
将集合S={1，2，3，…，2009}中大于a的元素按照被a除所得的余数分成下列a类
a+1，2a+1,3a+1,…,(q-1)a+1,qa+1;
a+2,2a+2,3a+2,…,(q-1)a+2,qa+2;
… …
a+r,2a+r，…,(q-1)a+r,qa+r
… …
a+(a-1),2a+(a-1),…,(q-1)a+(a-1);
2a,3a,4a,,…,qa
由于a是M中的元素，于是，在上述各行的任意相邻的两个元素中，最多只能有一个元素被包含在M中。
因此，在前r中，每行最多有{(q+1)/2]个元素在集合M中，在后a-r行中，最多有[q/2}个元素在集合M中。
因此，m≤1+[(q+1)/2]×r＋[q/2]×（a-r)≤1+(q+1)/2+q/2(a-r)=1+(qr+r+qa-qr)/2=1+2009/2
又，m为正整数，因此m≤1005.
显然集合M。={1005，1006，1007，…，2009}满足条件，且M。含有1005个元素。
所以，m的最大值为1005.

还需要其他题目的答案吗？

现在的数学竞赛题目太深了.看着就晕!