UC知道问一道数学智力题，开关灯的那个
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/24 17:24:18
题目为：对一批编号为1～100，全部开关朝上(开)的灯进行以下*作：凡是1的倍数反方向拨一次开关；2的倍数反方向又拨一次开关；3的倍数反方向又拨一次开关……问：最后为关熄状态的灯的编号。
我认识应该是1号和6的公倍数的号码上的灯是关着的，因为它们都被奇数次拨！可是答案是：
若实际操作求解会相当繁琐。我们知道，就某个亮着的灯而言，如果拨其开关的次数是奇数次，那么，结果它一定是关着的。根据题意可知，号码为N的灯，拨开关的次数等于N的约数的个数，约数个数是奇数，则N一定是平方数。因为10的平方等于100，可知100以内共有10个平方数，即，最后关熄状态的灯共有10盏，编号为1、4、9、16、25、36、49、64、81、100。
请问是我想的对还是答案是对的呢？
我认识应该是1号和6的公倍数的号码上的灯是关着的，因为它们都被奇数次拨！可是答案是：
若实际操作求解会相当繁琐。我们知道，就某个亮着的灯而言，如果拨其开关的次数是奇数次，那么，结果它一定是关着的。根据题意可知，号码为N的灯，拨开关的次数等于N的约数的个数，约数个数是奇数，则N一定是平方数。因为10的平方等于100，可知100以内共有10个平方数，即，最后关熄状态的灯共有10盏，编号为1、4、9、16、25、36、49、64、81、100。
请问是我想的对还是答案是对的呢？
答案是对的，因为只有n平方的数可以分为奇数个的约数
如16：1(对应16)、2(对应8)、4(对应自身)、8、16——16号灯开关拨动次数为5
而其他的全是分为偶数个约数：
如18：1(对应18)、2(对应9)、3(对应6)、6、9、18——18号灯开关拨动次数为6
分成约数的数量即为开关的次数，拨开关次数为奇数时，灯是关着的
LZ你可以用6号灯、12号灯、18号灯试一下，这些都是6的倍数，但实际上全是开着的
当然答案对了，注意是n的倍数拨一次开关，不是大于n的都拨。
因为后面的操作（比如已经到10的倍数了）不影响前几盏灯（比如1到9）的开关，所以你可以把前几盏灯模拟一下，用不完全归纳法猜想一下，再思考如何证明。
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