平分梯形面积的直线是否过梯形重心

肯定有，但并不是该线平分梯形面积。
重心的问题即是力矩平衡的问题，重心是根据力矩平衡来定义的，中学对此没有定义。但三角形的重心大家都知道在中线2/3处，过此点作平行于中位线的直线，你会发现上下面积不相等，而是4：5（这就是力矩在作怪，力矩包含重力和力臂两因素，而力臂不相等。）。当直线是联结顶点和该重心时，两边面积才是1：1（力臂相等）。
要知道三角形是梯形的极限情形，三角形都不满足，梯形必不满足。
断言，梯形重心位置无一致规律，依具体梯形来定。

平行于中位线且过重心的线只有一个，就是中位线！！

因为梯形中位线必不平分梯形面积，所以不存在

一定有。梯形有一个重心，过重心作中位线的平行线就是。因为过重心的直线平分面积。