一道数论竞赛题

解 如果（x,y,z）是原方程的一组整数解,则8^x+15^y=17^z（1）
由17被8除余1,得17^z被8除也余1,故由（1）知8^x+15^y被8除余1，再由8^x能被8整除，故得15^y被8除余1,于是得y必是偶数，由（1）得
得8^x=(16+1)^z-(16-1)^y, (16+1)^z-(16-1)^y能被16整除,故8^x也能被16整除, 于是x也是偶数,由x,y为偶数可知8^x能被64整除,15^y被64除余1，故由（1）可知17^z被64除余1，故z也是偶数。
设x=2a,y=2b,z=2c,其中a,b,c均为正整数,则(8^a)^2+(15^b)^2=(17^c)2,
(8^a)^2=(17^c)^2-(15^b)^2=(17^c-15^b)*(17^c+15^b）,
即2^(6a)=(17^c-15^b)*(17^c+15^b），该式左边是2的乘幂，故存在非负整数k<t，k+t=6a,有17^c-15^b=2^k, 17^c+15^b=2^t，
上面两式相减得2(15^b)=2^t-2^k=2^k*(2^(t-k)-1），(15^b)=2^(k-1)*(2^(t-k)-1），该式左边不含2的因子，故k=1,即(17^c)-(15^b)=2，故b=c=1,于是y=z=2，(1）化为8^x+15^2=17^2, 解得x=2，故该方程仅有唯一的整数解（2,2,2）。

8^x+15^y=17^z
两边mod8,得(-1)^y==1mod8,y==0 mod 2
两边mod3,得(-1)^x==1mod 3,x==0 mod 2
原方程等价于64^X+225^Y=17^z,X=x/2,Y=y/2
两边mod5得(-1)^X==2^zmod5
两边mod 17得(-4)^X+4^Y==0 mod 17
两边mod 7得2==3^z mod 7,z==2 mod 6
再令Z=z/2...

勾股定理的一些必备的常识：
3，4，5（倍数可约简不计）
5，12，13
8，15，17
7，24，25
9，40，41
11，60，61