一道难度极大的二元一次方程题！要挑战的进！

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/29 23:45:52
已知方程x²+bx+c=0与x²+cx+b=0各有两个整数根x1,x2和x1',x2',且x1x2>0 x1'x2'>0
(1)求证：x1<0 x2<0 x1'<0 x2'<0
(2)求证：b-1≤c≤b+1
(3)求b,c的所有可能的值

1.
由韦达定理:
x1x2=c
x1'+x2'=-c
x1x2>0,所以c>0,x1'+x2'<0
因为 x1'x2'>0,故x1',x2'同号
因x1'+x2'<0,所以x1'<0,x2'<0
同理,x1<0,x2<0
得证

2.
由x1<0,x2<0,且x1,x2都是整数，得x1<=-1,x2<=-1,x1+1<=0,x2+1<=0
所以(x1+1)(x2+1)
=x1x2+(x1+x2)+1
=c-b+1>=0
所以c>=b-1 ...(1)
同理
(x1'+1)(x2'+1)
=x1'x2'+x1'+x2'+1
=b-c+1>=0
所以c<=b+1 ...(2)
由(1),(2),b-1<=c<=b+1,得证

3.
|x1|+|x2|=b,|x1||x2|=c
|x1'|+|x2'|=c,|x1'||x2'|=b
所以
|x1'||x2'|/(|x1'|+|x2'|)=b/c=1/|x1|+1/|x2|<=1+1=2
不妨设|x1'|<=|x2'|
|x1'|/2=|x1'||x2'|/(|x2'|+|x2'|)<=|x1'||x2'|/(|x1|'+|x2'|)<=2
所以|x1'|<=4
枚举x1':
(1)x1'=-1时
1-c+b=0,c=b+1,(x1'+1)(x2'+1)=0,x1'=x2'=-1,b=1,